2024. 2. 1. 17:56ㆍJava 기초개념
개선된 다익스트라 알고리즘
다익스트라 알고리즘을 간단히 구현하면 시간 복잡도가 O(V^2)이다. 하지만 지금 배울 구현 방법을 이요하면 다익스트라 최단 경로 문제를 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다.
여기서 V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수를 의미한다.
간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다. 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다.
개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.
힙 설명
힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용되는 자료구조 중 하나다.
스택은 가장 나중에 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제하고, 큐는 가장 먼저 삽입된 데이트를 가장 먼저 삭제한다.
우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다.
이러한 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다. 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가, 가치가 높은 물건 데이터부터 거내서 확인해야 하는 경우를 가정해보자. 이런 경우에 우선순위 큐 자료구조를 이용하면 효과적이다.
또한 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다.
최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되며, 최대 힙을 이용하는 경우 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'된다.
그리고, 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(ㅡ)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(ㅡ)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.
앞서 우선순위 큐를 구현할 때는 힙 자료구조를 이용한다고 했는데, 사실 우선순위 큐를 구현하는 방법은 다양하다.
단순히 리스트를 이용해서 구현할 수도 있다. 데이터의 개수가 N개일 때, 구현 방식에 따라서 시간 복잡도를 비교한 내용을 표로 확인해보자. 리스트를 이용해서 우선순위 큐의 기능을 구현하기 위해서는 삭제할 때마다 모든 원소를 확인해서 우선순위가 가장 높은 것을 찾아야 하므로 최악의 경우 O(N)의 시간이 소요된다.
| 우선순위 큐 구현 방식 | 삽입 시간 | 삭제 시간 |
| 리스트 | O(1) | O(N) |
| 힙(Heap) | O(logN) | O(logN) |
데이터의 개수가 N일 때, 힙 자료구조에 N개의 데이터를 모두 넣은 뒤에 다시 모든 데이터를 꺼낸다고 해보자.
삽입할 때는 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이고 삭제할 때에도 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이다. 따라서 전체 연산 횟수는 대략 2NlogN이므로 빅오 표기법에 따라 전체 시간 복잡도는 O(NlogN)이 될 것이다.
이번에는 단계별로 우선순위 큐가 어떻게 변하는지를 중심으로 살펴보자.
다음 그림에서는 단순히 우선순위 큐를 개념적으로 보여줄 것이다. 우선순위 큐 그림에서는 각 원소를 거리가 짧은 순서대로 왼쪽부터 나열하겠다. 우선순위 큐를 적용하여도 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고,
현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다고 보면 된다.
step 0. 1번 노드가 출발 노드인 경우를 고려해보자. 여기서는 다음과 같이 출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정한다. 이후에 우선순위 큐에 1번 노드를 넣는다. 이때 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 때문에 0이다. 즉 (거리: 0, 노드: 1)의 정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 된다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 무한 | 무한 | 무한 | 무한 | 무한 |
| 우선순위 큐 | {거리: 0, 노드: 1} |
step 1. 우리는 우선순위 큐를 이용하고 있으므로 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 된다. 기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있다. 따라서 우선순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고, 아직 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 된다.
따라서 [step 1]의 우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0, 1)이 나온다. 이는 1번 노드까지 가는 최단 거리가 0이라는 의미이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산한다. 차례대로 2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)이다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 '무한'으로 설정되어 있는데, 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 갱신하면 된다. 이렇게 더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 다시 우선순위 큐에 넣는다. 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이전 단계에서 처리한 노드는 회색, 간선은 점선으로 표시했다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 5 | 1 | 무한 | 무한 |
| 우선순위 큐 | (거리: 1, 노드: 4), (거리: 2, 노드: 2), (거리: 5, 노드: 3) |
step 2. 이어서 다시 우선순위 큐에서 원소를 꺼내서 동일한 과정을 반복한다. 이번에는 (1, 4)의 값을 갖는 원소가 추출된다. 아직 노드 4를 방문하지 않았으며, 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가 4이다.
따라서 노드 4를 기준으로 노드 4와 연결된 간선들을 확인한다. 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1 + 3)과 2(1 + 1)이다. 이는 기존의 리스트에 담겨 있던 값들보다 작기 때문에 다음과 같이 리스트가 갱신되고, 우선순위 큐에는 (4, 3), (2, 5)라는 두 원소가 추가로 들어가게 된다.
앞서 말했듯이 현재 그림에서는 튜플의 첫 번째 원소(거리)가 작은 순서대로 왼쪽부터 기록하고 있다.
따라서 갱신된 우선순위 큐 또한 그림처럼 그려진다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 4 | 1 | 2 | 무한 |
| 우선순위 큐 | (거리: 2, 노드: 2), (거리: 2, 노드: 5), (거리: 4, 노드: 3), (거리: 5, 노드 3) |
step 3. 마찬가지로 [step 3]에서는 노드 2에 대해 처리한다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 모두 값이 2로 같으므로 어떤 원소부터 처리해도 상관은 없지만, 우선순위 큐에서 2번 노드가 꺼내졌다고 가정하자. 마찬가지로 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 더 거리가 짧은 경우도 있는지 확인한다. 이번 단계에서 2번 노드를 거쳐서 가는 경우 중 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다. 따라서 우선순위 큐에 어떠한 원소도 들어가지 않고 다음과 같이 리스트가 갱신된다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 4 | 1 | 2 | 무한 |
| 우선순위 큐 | (거리: 2, 노드: 5) (거리: 4, 노드: 3) (거리: 5, 노드: 3) |
step 4. 이번 단계에서는 노드 5에 대해 처리한다. 5번 노드를 거쳐서 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존의 값인 4보다 작다. 따라서 새로운 값인 3으로 갱신한다. 또한 6번 노드로 가는 최단 거리 역시 마찬가지로 갱신된다. 그래서 이번에는 (3, 3)과 (4, 6)이 우선순위 큐에 들어간다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 우선순위 큐 | (거리: 3, 노드: 3) (거리: , 노드: 3) (거리: 4, 노드: 6) (거리: 5, 노드: 3) |
step 5. 마찬가지로 원소 (3, 3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 최단 거리 테이블이 갱신되지 않으며 결과는 다음과 같다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 우선순위 큐 | (거리: 4, 노드: 3) (거리: 4, 노드: 6) (거리: 5, 노드 3) |
step 6. 이어서 원소 (4, 3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 다만, 3번 노드는 앞서 처리된 적이 있다. 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 원소에는 3번 노드까지 가는 최단 거리가 4라는 정보가 들어 있다. 하지만 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 3이다. 따라서 현재 노드인 3번에 대해서는 이미 처리된 것으로 볼 수 있으므로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 (4, 3)이라는 원소는 무시하면 된다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 우선순위 큐 | (거리: 4, 노드: 6) (거리: 5, 노드: 3) |
step 7. 이어서 원소 (4, 6)이 꺼내진다. 따라서 6번 노드에 대해서 처리하면 다음과 같다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 우선순위 큐 | (거리: 5, 노드: 3) |
step 8. 마지막으로 남은 원소를 꺼내지만, 아까와 마찬가지로 이미 처리된 노드이므로 무시한다.
| 노드 번호 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 거리 | 0 | 2 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 우선순위 큐 |
이와 같이 모든 단계를 거친 후에 최단 거리 테이블에 남아 있는 0, 2, 3, 1, 2, 4가 각 노드로의 최단 거리이다. 위의 방법에서는 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해서 우선순위 큐를 이용하고 있으며, 앞서 보여줬던 방법과 비교했을 때 훨씬 빠르게 동작한다.
앞의 코드와 비교했을 때 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다.
'최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.
코드
import java.util.*;
class Node implements Comparable<Node> {
private int index;
private int distance;
public Node(int index, int distance) {
this.index = index;
this.distance = distance;
}
public int getIndex() {
return this.index;
}
public int getDistance() {
return this.distance;
}
// 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
@Override
public int compareTo(Node other) {
if (this.distance < other.distance) {
return -1;
}
return 1;
}
}
public class Main {
public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
public static int n, m, start;
// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
// 최단 거리 테이블 만들기
public static int[] d = new int[100001];
public static void dijkstra(int start) {
PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
// 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
pq.offer(new Node(start, 0));
d[start] = 0;
while(!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
// 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
Node node = pq.poll();
int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용
int now = node.getIndex(); // 현재 노드
// 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if (d[now] < dist) continue;
// 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
// 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
start = sc.nextInt();
// 그래프 초기화
for (int i = 0; i <= n; i++) {
graph.add(new ArrayList<Node>());
}
// 모든 간선 정보를 입력받기
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int c = sc.nextInt();
// a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph.get(a).add(new Node(b, c));
}
// 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
Arrays.fill(d, INF);
// 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start);
// 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if (d[i] == INF) {
System.out.println("INFINITY");
}
// 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else {
System.out.println(d[i]);
}
}
}
}
개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도
다익스트라 알고리즘에 비해 개선된 다익스트라 알고리즘은 시간 복잡도가 O(ElogV)로 훨씬 빠르다.
코드에서 확인할 수 있듯이 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다. 다시 말해 큐에서 노드를 하나씩 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다.
또한 V번 반복될 때마다 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다. 따라서 '현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인'하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
따라서 전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다고 볼 수 있다. 앞에서 말했듯이 힙에 N개의 데이터를 모두 넣고, 이후에 모두 빼는 과정은 O(NlogN)이다. 간단하게 생각하면 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로
O(ElogE)임을 이해할 수 있다.
이때 중복 간선을 포함하지 않는 경우, E는 항상 V^2보다 작다. 왜나하면 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 V^2으로 볼 수 있고 E는 항상 V^2 이하이기 때문이다. 다시 말해 logE는 logV^2보다 작다. 이때 O(logV^2)은 O(2logV)이고, 이는 O(logV)이다. 따라서 다익스트라 알고리즘의 전체 시간 복잡도를 간단히 O(ElogV)라고 볼 수 있다.
'Java 기초개념' 카테고리의 다른 글
| [이코테 with Java] 다익스트라 최단 경로 알고리즘과 간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드 (1) | 2024.02.01 |
|---|---|
| [이코테 with Java] 다이나믹 프로그래밍 (1) | 2024.01.30 |
| [이코테 with Java] 트리 자료구조 (2) | 2024.01.29 |
| Collections 클래스 (0) | 2024.01.26 |
| [이코테 with Java] 순차 탐색과 이진 탐색 (0) | 2024.01.26 |