Java 기초개념

[이코테 with Java] 다익스트라 최단 경로 알고리즘과 간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드

크딩학생 2024. 2. 1. 13:52

가장 빠르게 도달하는 방법

최단 경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 '길 찾기' 문제라고도 불린다. 

예를 들어 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우' 등의 다양한 사례가 존재한다. 

최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고,

지점 간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현된다. 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다. 

 

 

 

이코테 책에서는 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형을 다루고 있는데, 나는 간단한 다익스트라 알고리즘에 대해 먼저 작성해보겠다.

 

 

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘이란?

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다. 

음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미하는데, 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다. 

 

  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다. 

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다. 

나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 판단하는 것이다.

따라서 '방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인'해 그 노드에 대하여 4번 과정(해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블 갱신)을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다. 

 

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다.

  • 방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
  • 방법 2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

코딩테스트를 준비한다면 2를 정확히 이해하고 구현할 수 있을 때까지 연습해야 하며, 지금은 방법 1에 대해 알아보겠다. 

그 전에 다익스트라 알고리즘의 동작 원리를 살펴보자.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘 동작 원리

 

다음과 같은 그래프가 있을 때 1번 노드에서 다른 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.

 

예시에서 출발 노드를 1이라 하겠다. 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산해볼 것이다. 

초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다. 

노드로는 999,999,999 등의 값으로 설정할 수 있다. (약 10억)

자릿수가 헷갈리지 않도록 하기 위해서 987,654,321로 설정하기도 한다. 

가장 간단한 방법은 지수표기법을 사용하는 건데 1e9라고 사용하면 1,000,000,000(10억)이다. 

 

step 0. 먼저 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다. 
노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 무한 무한 무한 무한 무한

 

step 1. 이제 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 즉 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다. 현재 1번 노드까지 오는 비용은 0이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로
2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)이다. 
현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 '무한'으로 설정되어 있는데, 세 노드에 대하여 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다. 처리된 결과는 다음 그림과 같다. 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이미 처리한 노드는 회색, 이미 처리한 간선은 점선으로 표현했다. 

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 2 5 1 무한 무한

 

step 2. 이후의 모든 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다. 
따라서 [step 2]에서는 4번 노드가 선택된다. 이어서 4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다. 4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번이다. 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1+3), 2(1+1)이다. 이 두 값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다. 
(1에서 4번이 1로 가장 가까우므로, 4번을 거쳐서 갈 수 있는 경로를 탐색) 

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 2 4(1+4로 같음) 1 2(1+1) 무한

 

step 3. [step 3]에서는 2번 노드가 선택된다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데, 이럴 때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다. 그리고 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인한다. 이번 단계에서 2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.
예를 들어 2번 노드를 거쳐서 3번 노드로 이동하는 경우, 5(2 + 3)만큼의 비용이 발생한다. 하지만 이미 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 4이므로, 값이 갱신되지 않는다. 

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 2 4(2+3로
원래보다 큼)		 1(2+2로
원래보다 큼)		 2 무한

 

step 4. 이번에는 5번 노드가 선택된다. 5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다. 또한 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다. 

 

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 2 3(1+1+1) 1 2 4(1+1+2)
step 5. 이어서 3번 노드를 선택한 뒤에 동일한 과정을 반복한다. 

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 2(2+3+3으로
원래 값보다 큼)		 3 1 2 4(2+3+5로
원래 값보다 큼)
step 6. 6번 노드를 선택한 후 같은 과정을 반복한다. 지금까지의 최종 최단 거리 테이블은 다음과 같다.

노드 번호 1 2 3 4 5 6
거리 0 2 3 1 2 4

 

최단 거리 테이블이 의미하는 바는 1번 노드부터 출발했을 때 2번, 3번, 4번, 5번, 6번 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4라는 의미다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.

다시 말해 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다. 

그렇기 때문에, 사실 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다. 예를 들어 위의 예시에서 [step 6]을 수행할 때는 이미 나머지 5개 노드에 대한 최단 거리가 확정된 상태이므로 더 이상 테이블이 갱신될 수 없기 때문이다.

 

 

간단한 다익스트라 알고리즘

간단한 다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간 복잡도를 가지며, 다익스트라에 의해서 처음 고안되었던 알고리즘이다. 

여기서 V는 노드의 개수를 의미한다. 

처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

 

코드

import java.util.*;

class Node {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
    public static boolean[] visited = new boolean[10001];
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[10001];


    // 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
    public static int getSmallestNode() {
        int min_value = INF;
        int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(d[i] < min_value && !visited[i]) {
                min_value = d[i];
                index = i;
            }
        }
        return index;
    }

    public static void dijkstra(int start) {
        // 시작 노드에 대해서 초기화
        d[start] = 0;
        visited[start] = true;
        for(int j = 0; j < graph.get(start).size(); j++) {
            d[graph.get(start).get(j).getIndex()] = graph.get(start).get(j).getDistance();
        }

        // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
        for(int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
            int now = getSmallestNode();
            visited[now] = true;
            // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
            for (int j = 0; j < graph.get(now).size(); j++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(j).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(j).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(j).getIndex()] = cost;
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }

        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);

        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
            if(d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}

 

간단한 다익스트라 알고리즘 복잡도

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V^2)이다. 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다. 

따라서 코딩 테스트의 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 풀 수 있지만, 10,000개를 넘어간다면 해결하기 힘들다.